TEOREMA DE PITAGORAS

TEOREMA DE PITAGORAS

En un triángulo rectángulo (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

• HIPOTENUSA: La hipotenusa es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto.

• CATETOS: Un cateto, en geometría, es cualquiera de los dos lados menores de un triángulo rectángulo los que conforman el ángulo recto.

 

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2 EJEMPLO.  Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar. Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25

EJERCICIOS.

1.- Obtener el valor de la hipotenusa mediante el teorema de pitagoras.

a² + b² = c²

5² + 12² = c²

25 + 144 = 169

c² = 169

c = √169

c = 13

2.- Obtener el valor del cateto b mediante el teorema de pitagoras.

a² + b² = c²

9² + b² = 15²

81 + b² = 225

Resta 81 a ambos lados

b² = 144

b = √144

b = 12

TEOREMA DE TALES DE MILETO

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.  Lo que se traduce en la fórmula

EJERCICIO:

En el triángulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b. Apicamos la fórmula, y tenemos

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

EJERCICIO

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

EJERCICIO

Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

TEOREMAS Y CLASIFICACIÓN DE TRIANGULOS

TRIÁNGULOS

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Los triángulos se clasifican por:

A) Sus lados

a) Equilatero: Es aquel que tiene sus tres lados iguales.

b) Isósceles: Es aquel que tiene por lo menos dos lados iguales.

c) Escaleno: Es aquel que no tiene lados iguales.

B) Por sus lados:

a) Triangulo rectángulo: Es aquel que tiene un angulo recto, los lados que forman el angulo rectos se llaman catetos y el lado mas largo se llama hipotenusa.

b) Triangulo obtusángulo:  Es aquel que tiene un angulo obtuso.

c) Triangulo acutángulo: Es el que tiene sus tres ángulos agudos.

TEOREMAS DE TRIÁNGULOS

TEOREMA DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES

Principio 1.- "Si dos triángulos son congruentes, entonces sus partes correspondientes son congruente.

Principio 2.- "(LAL) Si dos lados y el angulo comprendido de un triangulo son congruentes con las partes correspondientes de otro, entonces los triángulos son congruentes."

Principio 3.- (ALA) "Si un lado y dos ángulos adyacentes de un triangulo son congruentes con las partes correspondientes de otro, entonces los triángulos son congruentes.

Principio 4.- (LLL) "Si los tres lados de un triangulo, son congruentes con los tres lados de otro, entonces los triángulos son congruentes."

TEOREMA DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Se llaman triángulos semejantes a los triángulos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

Postulado 1.- Son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruentes.

El ángulo comprendido entre ellos.

Postulado 2.- lado - lado - lado (L. L. L. ) Dos triángulos son semejantes si tienen sus

tres lados respectivamente proporcionales.

Es decir, en los triángulos ABC y DEF:

 

Postulado 3.- Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes.

Es decir, en los triángulos ABC y DEF: <A = <D y < B = < E

Entonces ABC DEF

Postulado 4.- Dos triangulos son semejantes si dos de sus angulos de uno de ellos son congruentes, uno  uno, a los del otro lado.

Postulado 5.- Dos triangulos rectangulos son semejantes si tienen un angulo congruente.

Postulado 6.- Dos triangulos son semejantes si los lados de uno de los triangulos son paralelos a los lados del otro.

Postulado 7.- Dos triangulos son semejantes si los lados de uno de los triangulos son perpendiculares a los del otro.

TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS

RECTAS PARALELAS

Se denominan rectas paralelas a las líneas que mantienen una equidistancia entre sí, y que, aunque prolonguemos su trayectoria hasta el infinito, nunca, en ningún punto sus trazos pueden bifurcarse, tocarse, encontrarse. Es decir, entre ambas líneas (aunque pueden ser planos lineales de mayor dimensión, como ya veremos) se establece una relación de paralelismo.

TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS

TEOREMA 1

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 2

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 3

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 4 

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

TEOREMA 5

Dadas las rectas p, q y r, si p es paralela a q y q es paralela a r, entonces p es paralela a r.

TEOREMA 6

Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

TEOREMA 7

Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.

TEOREMA 8

Si dos rectas se cortan por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

TEOREMA 9

Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

Matemáticas 2, Bloque 1-3

ÁNGULOS

Es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Los ángulos suelen medirse en unidades tales como el radian, el sistema sexagesimal o el grado centesimal.

Euclides define un ángulo como:

"La inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un 

plano y no están en línea recta".

Partes de un ángulo La esquina de un ángulo se llama vértice Y los lados rectos son rayos El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.

*Los ángulos miden la cantidad de giro*

TIPOS DE ÁNGULOS

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

• Ángulos suplementarios:

Los ángulos suplementarios son aquellos que sumados llegan a medir 180° (al igual que un angulo llano).

Estos dos ángulos (140° y 40°) son ángulos suplementarios, porque suman 180°.

• Ángulos complementarios:

Los ángulos complementarios son aquellos que sumados llegan a medir 90°.

Estos dos ángulos (40° y 50°) son ángulos complementarios, porque suman 90°.

• Ángulos interiores:

Los ángulos interiores son los que están dentro de una figura. Sumados los ángulos interiores de una figura  llegan a medir 180°. 

• Ángulos exteriores:

Un angulo exterior es un angulo entre un lado de una figura y la linea que se extiende desde el lado siguiente hasta afuera. Sumados los ángulos exteriores de una figura, llegan a medir 360°.

 *La suma de un angulo interior y exterior debe dar el resultado de 180°*

• Ángulos alternos internos:

Son dos ángulos interiores con diferentes vertices en lados opuestos de la transversal.

• Angulos alternos externos

Son dos ángulos exteriores con diferentes vertices en lados opuestos de la transversal.

En función de su posición, se denominan:

• ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
• ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,
• ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
• ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan:

• ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo.

TEOREMAS DE TIPOS DE ÁNGULOS.

Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.

Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.

Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.
Teorema XIII: Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.

Teorema XIV: Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales


Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.

Teorema VII: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema VIII: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema IX: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.

Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.

Teorema XI: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.

Teorema XII: Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son iguales.
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